Bước 1. Đưa đường với khía cạnh b“c hai v• d⁄ng ch‰nht›c b‹ng ph†p bi‚n đŒi trực giao (ph†p quay)Bước 2. Sß dụng ph†p tịnh ti‚n đ” gửi phươngtr nh cıa mặt đường (mặt) b“c nhị v• con đường (mặt) b“cnhị cơ b£n.


Bạn đang xem: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao

*
44 trang | Chia sẻ: nguyenlam99 | Lượt xem: 7002 | Lượt tải: 1
*

Xem thêm: " Fries Là Gì Trong Tiếng Việt? Fries Là Gì

Quý khách hàng đang xem trước trăng tròn trang tư liệu Toán học tập - Dạng toàn phương, giúp xem tư liệu hoàn chỉnh các bạn cliông xã vào nút ít DOWNLOAD ở trên
hcmut.edu.vnTP Hồ Chí Minh — 2013.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP Hồ Chí Minh — 2013. 1 / 43Nội dung1 Định nghĩa dạng toàn phương. Phương thơm phápđổi khác trực giao, cách thức đổi mới đổiLagrange đưa dạng toàn phương về dạng chínhtắc2 Dạng toàn phương thơm xác minh dấu: Luật quántính, tiêu chuẩn Sylvester3 Nhận dạng đường và mặt bậc haiTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013. 2 / 43Những định nghĩa cơ bản Định nghĩaĐịnh nghĩaDạng toàn phương thơm trong Rn là 1 trong những hàm thựcf : Rn → R, ∀x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn :f (x) = xT .M .x , trong những số đó M là ma trận đối xứngthực và được Call là ma trận của dạng toàn phương(trong đại lý thiết yếu tắc).Ví dụf (x) = f (x1, x2) = 2x21 + 3x22 − 6x1x2 là dạng toànphương thơm. Ma trận M bao gồm dạng M =(2 −3−3 3)TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TPhường.Hồ Chí Minh — 2013. 3 / 43Những quan niệm cơ phiên bản Định nghĩaDạng toàn pmùi hương vào R3 hay được ghi ởdạng f (x) = f (x1, x2, x3) =Ax21 + Bx22 + Cx23 + 2Dx1x2 + 2Ex1x3 + 2Fx2x3.Ma trận của dạng toàn phương từ bây giờ là ma trậnđối xứngM = A D ED B FE F Cf (x1, x2, x3) = xT .M .x = (x1 x2 x3).M . x1x2x3TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP Hồ Chí Minh — 2013. 4 / 43Những định nghĩa cơ bạn dạng Ví dụVí dụf (x) = f (x1, x2, x3) =x21 − 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 − x23 là một dạng toànpmùi hương. Ma trận của dạng toàn phương làM = 1 −1 2−1 0 12 1 −1TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013. 5 / 43Những tư tưởng cơ bạn dạng Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng đổi khác trực giaoCho dạng toàn phương f (x) = xT .M .x , vớix = (x1, x2, x3)T . Vì M là ma trận đối xứng thựcbắt buộc M chéo hóa được bởi vì ma trận trực giao Phường vàma trận chéo cánh D : D = PTMP ⇒ M = PDPT .Lúc đóf (x) = xT .P .D.PT .x = (PT .x)T .D.(PT .x). Đặty = PT .x = P−1x ⇔ x = Py . Ta gồm g(y) =yTDy = (y1, y2, y3) λ1 0 00 λ2 00 0 λ3 y1y2y3 . Vậyf (x) = g(y) = λ1y21 + λ2y22 + λ3y23 .TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố Hồ Chí Minh — 2013. 6 / 43Những có mang cơ bản Đưa dạng toàn phương thơm về dạng chính tắc bởi chuyển đổi trực giaoĐịnh nghĩaDạng toàn phương thơm g(y) = yTDy được điện thoại tư vấn là dạngchủ yếu tắc của dạng toàn phương thơm f (x) = xTMx .Định lýDạng toàn phương f (x) = xTMx luôn luôn có thểmang đến dạng thiết yếu tắc g(y) = yTDy bằng cáchchéo cánh hóa trực giao ma trận M của dạng toànphương.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố HCM — 2013. 7 / 43Những khái niệm cơ phiên bản Đưa dạng toàn phương về dạng thiết yếu tắc bởi chuyển đổi trực giaoĐưa dạng toàn phương thơm về dạng bao gồm tắc bởi phnghiền biếnđổi trực giaoBước 1. Viết ma trận M của dạng toàn phương(vào đại lý chủ yếu tắc)Bước 2. Chéo hóa M vì ma trận trực giao Phường vàma trận chéo cánh D.Cách 3. Kết luận: dạng chính tắc bắt buộc tìm kiếm làg(y) = yTDy . Phxay đổi khác đề nghị tìm x = Py .TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013. 8 / 43Những khái niệm cơ bạn dạng Ví dụVí dụĐưa dạng toàn pmùi hương sau về dạng thiết yếu tắcbằng phép thay đổi trực giaof (x1, x2, x3) = −4x1x2− 4x1x3 + 3x22 − 2x2x3 + 3x23Ma trận của dạng toàn phươngM = 0 −2 −2−2 3 −1−2 −1 3TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 9 / 43Những định nghĩa cơ bạn dạng Ví dụdet(M − λI ) =∣∣∣∣∣∣−λ −2 −2−2 3− λ −1−2 −1 3− λ∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ −λ3 + 6λ2−32 = 0⇔ λ1 = −2, λ2 = λ3 = 4.Xác định ma trận trực giao. Với λ1 = −2, ta cóP∗1 =2√61√61√6 . Với λ2 = λ3 = 4, ta cóP∗2 = −1√52√50 , P∗3 = −2√30− 1√305√30 .TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố HCM — 2013. 10 / 43Những khái niệm cơ phiên bản Ví dụDo đó ma trận trực giaoPhường =2√6− 1√5− 2√301√62√5− 1√301√60 5√30 .Phép biến đổi (x1, x2, x3)T = P(y1, y2, y3)T vẫn đưadạng toàn pmùi hương f về dạng chính tắcf = −2y 21 + 4y 22 + 4y 23TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố Hồ Chí Minh — 2013. 11 / 43Những có mang cơ bạn dạng Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bởi biến đổi LagrangeĐịnh nghĩaPhép biến đổi x = Py được Hotline là phxay trở nên đổiko suy biến hóa trường hợp P. là ma trận ko suy biến hóa.Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụngnhững phép thay đổi ko suy biến đổi chuyển dạng toànphương về dạng bao gồm tắc.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TPHCM — 2013. 12 / 43Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương thơm về dạng thiết yếu tắc bằng thay đổi LagrangeĐưa dạng toàn pmùi hương về dạng thiết yếu tắc bằng phát triển thành đổiLagrangeCách 1. Chọn 1 quá số khác 0 của hệ số của x2k ,lập thành 2 nhóm: 1 đội tất cả toàn bộ những hệ sốchứa xk , đội còn lại ko đựng xk .Cách 2. Trong đội đầu tiên: lập thành tổngbình pmùi hương. do vậy, ta đã được một tổng bìnhphương thơm và 1 dạng toàn phương ko chứa xk .Cách 3. Sử dụng bước 1, 2 cho dạng toànphương không cất xk .TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố Hồ Chí Minh — 2013. 13 / 43Những tư tưởng cơ phiên bản Đưa dạng toàn phương về dạng chủ yếu tắc bởi thay đổi LagrangeChụ ý. Nếu vào dạng toàn phương thuở đầu tấtcả những thông số x2k đông đảo bằng 0, thì ta chọn vượt sốkhông giống 0 của thông số xixj . Đổi đổi mới ∀k 6= i , j :xk = yk ,xi = yi + yj ,xj = yi − yjTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố HCM — 2013. 14 / 43Những tư tưởng cơ phiên bản Ví dụVí dụDùng cách thức Lagrange đưa dạng toànphương sau về dạng thiết yếu tắcf (x1, x2, x3) = x21 + 2x22 − 7x23 − 4x1x2 + 8x1x3.Ta cóf (x1, x2, x3) = x21 − 4x1(x2 − 2x3) + 2x22 − 7x23 = +2x22 − 7x23 − 4(x2 − 2x3)2 =(x1 − 2x2 + 4x3)2−2(x22 − 8x2x3)− 23x23 =TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TPhường.HCM — 2013. 15 / 43Những định nghĩa cơ phiên bản Ví dụ= (x1− 2x2 + 4x3)2−2(x22 − 8x2x3 + 16x23 )+9x23 == (x1 − 2x2 + 4x3)2 − 2(x2 − 4x3)2 + 9x23 .Vậy dùng phxay biến hóa đổiy1 = x1 − 2x2 + 4x3y2 = x2 − 4x3y3 = x3→x1 = y1 + 2y2 + 4y3x2 = y2 + 4y3x3 = y3Ta chuyển f về dạng thiết yếu tắcf (x) = g(y) = y 21 − 2y 22 + 9y 23 .TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố Hồ Chí Minh — 2013. 16 / 43Những tư tưởng cơ bạn dạng Ví dụDùng phương thức Lagrange chuyển dạng toànphương thơm sau về dạng bao gồm tắc f (x1, x2, x3) =x21 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x22 + 16x2x3 + 4x23 .Hệ số của x21 không giống 0 cần f được đưa về dạngf = (x1 + 2x2 + 2x3)2 + 8x2x3. Dùng phxay thay đổi đổiy1 = x1 + 2x2 + 2x3, y2 = x2, y3 = x3 hayx1 = y1 − 2y2 − 2y3, x2 = y2, x3 = y3 x1x2x3 = 1 −2 −20 1 00 0 1 y1y2y3ta đưa f về dạng f = y 21 + 8y2y3TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP Hồ Chí Minh — 2013. 17 / 43Những quan niệm cơ phiên bản Ví dụĐối với dạng 8y2y3 bởi hệ số của những bình phươngphần lớn bởi 0 phải ta đặty1 = z1, y2 = z2 + z3, y3 = z2 − z3 y1y2y3 = 1 0 00 1 10 1 −1 z1z2z3ta gửi f về dạng f = z21 + 8z22 − 8z23 .TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013. 18 / 43Những quan niệm cơ phiên bản Ví dụdo vậy cùng với phép vươn lên là đổi x1x2x3 = 1 −2 −đôi mươi 1 00 0 1 y1y2y3 = 1 −2 −đôi mươi 1 00 0 1 1 0 00 1 10 1 −1 z1z2z3 = 1 −4 00 1 10 1 −1 z1z2z3 ta đưa f về dạng chínhtắc f = z21 + 8z22 − 8z23 .TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP.Hồ Chí Minh — 2013. 19 / 43Dạng toàn phương khẳng định lốt Định nghĩaĐịnh nghĩaDạng toàn pmùi hương f (x) = xTMx được Hotline làkhẳng định dương, trường hợp ∀x 6= 0 : f (x) > 0xác định âm, trường hợp ∀x 6= 0 : f (x) 0,∃x0 6= 0 : f (x0) = 0.nửa khẳng định âm, nếu∀x : f (x) 6 0,∃x0 6= 0 : f (x0) = 0.không xác định dấu, nếu∃x1, x2 : f (x1) 0.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố Hồ Chí Minh — 2013. trăng tròn / 43Dạng toàn pmùi hương khẳng định vết Ví dụVí dụKhảo gần kề tính chất khẳng định của dạng toàn phươngf = x21 + 5x22 + 4x23 − 4x1x2 − 2x2x3f rất có thể mang lại dạngf = (x1 − 2x2)2 + (x2 − x3)2 + 3x23 . Rõ ràngf > 0, f = 0 lúc và chỉ khix1 − 2x2 = 0x2 − x3 = 0x3 = 0⇔ x1 = x2 = x3 = 0 buộc phải dạngtoàn pmùi hương này xác minh dương.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TPhường.Hồ Chí Minh — 2013. 21 / 43Dạng toàn phương thơm khẳng định dấu Ví dụGiả sử dạng toàn pmùi hương mang đến dạng bao gồm tắcg(y) = λ1y21 + λ2y22 + . . . + λny2nNếu λk > 0,∀k thì DTPhường khẳng định dươngNếu λk 0,∀k,∃λi = 0 thì DTPhường nửa xác địnhdươngNếu λk 6 0,∀k,∃λi = 0 thì DTP.. nửa xác địnhâmNếu ∃λi > 0, λj 0,∀i = 1, 2, . . . , n.2 f (x) xác minh âm khi còn chỉ khi(−1)i∆i > 0,∀i = 1, 2, . . . , n.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP.Hồ Chí Minh — 2013. 27 / 43Dạng toàn phương khẳng định vết Ví dụVí dụKhảo cạnh bên đặc điểm xác định của dạng toàn phươngsauf (x1, x2, x3) = 5x21 +x22 +5x23 +4x1x2−8x1x3−4x2x3Ta bao gồm ma trận của dạng toàn phương f làM = 5 2 −42 1 −2−4 −2 5 Vì ∆1 = 5 > 0,∆2 =∣∣∣∣ 5 22 1∣∣∣∣ = 1 > 0,TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố Hồ Chí Minh — 2013. 28 / 43Dạng toàn phương khẳng định lốt Ví dụ∆3 =∣∣∣∣∣∣5 2 −42 1 −2−4 −2 5∣∣∣∣∣∣ = 1 > 0 buộc phải theo tiêuchuẩn chỉnh Sylvester dạng toàn pmùi hương sẽ cho xác địnhdương.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013. 29 / 43Dạng toàn phương xác định vết Ví dụVí dụCho dạng toàn phương thơm f (x1, x2, x3) =−5x21 − x22 −mx23 − 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.Với cực hiếm như thế nào của m thì dạng toàn pmùi hương f xácđịnh âmTa gồm ma trận của dạng toàn phương f làA = −5 −2 1−2 −1 11 1 −mTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TPHCM — 2013. 30 / 43Dạng toàn pmùi hương khẳng định vết Ví dụVì (−1)1∆1 = −(−5) > 0,(−1)2∆2 = (−1)2∣∣∣∣ −5 −2−2 −1∣∣∣∣ = 1 > 0,(−1)3∆3 = (−1)3∣∣∣∣∣∣−5 −2 1−2 −1 11 1 −m∣∣∣∣∣∣ = −2 + m. Đểdạng toàn phương đang đến khẳng định âm thìm − 2 > 0 giỏi m > 2.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố Hồ Chí Minh — 2013. 31 / 43Nhận dạng đường và phương diện bậc hai Định nghĩaNhận dạng đường với khía cạnh bậc haiĐịnh nghĩaĐường bậc nhì là con đường có pmùi hương trình dạngax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0,a, b, c, d , e, f ∈ R.Định nghĩaMặt bậc hai là phương diện tất cả phương thơm trình dạngax2 + by 2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx +hy + kz + m = 0, a, b, c, d , e, f , g , h, k,m ∈ RTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP Hồ Chí Minh — 2013. 32 / 43Nhận dạng mặt đường và mặt bậc nhì Các mặt đường với khía cạnh bậc nhì cơ bảnEllipse x2a2+y 2b2= 1Hyperbol x2a2− y2b2= 1Parabol y 2 = 2pxEllipsoid x2a2+y 2b2+z2c2= 1Hyperboloid 1 tầng x2a2+y 2b2− z2c2= 1Hyperboloid 2 tầng x2a2+y 2b2− z2c2= −1TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP.Hồ Chí Minh — 2013. 33 / 43Nhận dạng đường cùng khía cạnh bậc nhì Các con đường cùng phương diện bậc hai cơ bảnParaboloid Elliptic z = x2a2+y 2b2Paraboloid Hyperbolic z = x2a2− y2b2Mặt nón 2 phía x2a2+y 2b2=z2c2Mặt trụ ellipse x2a2+y 2b2= 1, z ∈ RMặt trụ parabol y 2 = 2px , z ∈ RTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013. 34 / 43Nhận dạng đường và khía cạnh bậc hai Nhận dạng mặt đường cùng mặt bậc haiNhận dạng mặt đường và phương diện bậc haiBước 1. Đưa mặt đường cùng mặt bậc nhì về dạng chínhtắc bởi phnghiền biến đổi trực giao (phxay quay)Bước 2. Sử dụng phép tịnh tiến để đưa phươngtrình của đường (mặt) bậc nhị về mặt đường (mặt) bậcnhì cơ bạn dạng.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP.. Hồ Chí Minh — 2013. 35 / 43Nhận dạng con đường cùng khía cạnh bậc nhị Ví dụVí dụNhận dạng đường cong bậc nhì sau:3x2 + 2xy + 3y 2 + 8√2y − 4 = 0.Xét f = 3x2 + 2xy + 3y 2. Ma trận của f làM =(3 11 3). Phương trình đặc trưng của M làχM(λ) = det(M − λI ) =∣∣∣∣ 3− λ 11 3− λ∣∣∣∣ = 0⇔ λ1 = 2, λ2 = 4.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP Hồ Chí Minh — 2013. 36 / 43Nhận dạng con đường cùng phương diện bậc hai Ví dụVới λ1 = 2, ta gồm P∗1 =(1√2− 1√2)Với λ2 = 4, ta tất cả P∗2 =(1√21√2)Ma trận của phép đổi khác trực giaoP =(1√21√2− 1√21√2)TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TPhường. HCM — 2013. 37 / 43Nhận dạng con đường và khía cạnh bậc nhị Ví dụVới phxay đổi khác X = PY hayx =1√2x ′ +1√2y ′y = − 1√2x ′ +1√2y ′Vậy núm vào phươngtrình ban sơ ta đượcx ′2 + 2y ′2 − 4x ′ + 4y ′ − 2 = 0.Sử dụng phnghiền tịnh tiến, ta viết phương thơm trình trênbên dưới dạng (x ′ − 2)2 + 2(y ′ + 1)2 = 8. Đặt{x ′′ = x ′ − 2y ′′ = y ′ + 1ta được x′′28+y ′′24= 1. EllipseTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP Hồ Chí Minh — 2013. 38 / 43Nhận dạng con đường và khía cạnh bậc nhì Ví dụVí dụNhận dạng phương diện bậc hai sau:2x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1x3 − 2x2x3 − 16 = 0.Xét f = 2x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1x3 − 2x2x3. Matrận của f là M = 2 0 −10 2 −1−1 −1 3 .TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thành Phố Hồ Chí Minh — 2013. 39 / 43Nhận dạng đường và khía cạnh bậc nhì Ví dụPhương trình đặc thù của M làχM(λ) = |M − λI | =∣∣∣∣∣∣2− λ 0 −10 2− λ −1−1 −1 3− λ∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 4.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP Hồ Chí Minh — 2013. 40 / 43Nhận dạng đường và phương diện bậc nhì Ví dụVới λ1 = 1, ta bao gồm P∗1 =1√31√31√3Với λ2 = 2, ta bao gồm P∗2 =1√2− 1√20Với λ3 = 4, ta bao gồm P∗3 =1√61√6− 2√6TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. Hồ Chí Minh — 2013. 41 / 43Nhận dạng mặt đường với khía cạnh bậc nhị Ví dụMa trận của phnghiền chuyển đổi trực giaoPhường =1√31√21√61√3− 1√21√61√30 − 2√6TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 42 / 43Nhận dạng đường và mặt bậc nhì Ví dụVới phnghiền đổi khác X = PY hayx1 =1√3x ′1 +1√2x ′2 +1√6x ′3x2 =1√3x ′1 −1√2x ′2 +1√6x ′3x3 =1√3x ′1 + 0.x′2 − 2√6x ′3Vậy gắng vàophương trình thuở đầu ta đượcx ′21 + 2x′22 + 4x′23 = 16 hayx ′2116+x ′228+x ′234= 1.EllipsoidTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TPHCM — 2013. 43 / 43Nhận dạng mặt đường cùng mặt bậc nhị Ví dụTHANK YOU FOR ATTENTIONTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP.Hồ Chí Minh — 2013. 44 / 43
Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *